10 वर्ष का बालक साथ है, टैब पर समय बिता रहा है। सीधे मना करना ठीक नहीं लगता। मुझे पता है, अंकों में उसे रुचि है। मैं कुछ खेल याद करता हूं, जिनसे मैं उस उम्र से ले कर आज तक भी आनंदित होता हूं। गणित वाले अधिकतर इस संख्या- ‘6174‘ (दत्तात्रेय रामचंद्र) कापरेकर स्थिरांक से परिचित होते हैं। उन्होंने सन 1955 में इसे ‘खोजा‘ था। चार अंकों का कोई समूह, उच्चतम से न्यूनतम (अवरोही से आरोही) को घटाते हुए प्राप्त होने वाली संख्या सदैव 6174 होगी। उसे उदाहरण से समझाया- संख्या लिया- 1234। इसे घटते क्रम में लिखें- 4321 फिर इसे बढ़ते क्रम वाली इन्हीं संख्याओं- 1234 से घटा दें, बचेगा- 3087। इसे दोहराएं, यानी 3087, इन चार संख्याओं को उच्चतम क्रम में जमा कर, निम्नतम से घटाएं, इस तरह- 8730-0378 मान आएगा- 8352। पुनः यही क्रम दोहराते जाएं- 8532-2358 बचा 6174।
पहला सवाल आया कि क्या ऐसा 6174 के साथ भी होगा, मैंने कहा देख लेते हैं। 7641-1467, यह तो पहली बार में ही 6174 आ गया। बालक ने सोच कर कहा क्या ऐसा 6174 से बड़ी/छोटी संख्या लेने पर भी होगा, जवाब हां मिलते तक उसने अपनी अगली आपत्ति सोच ली थी। उसकी आपत्ति वही थी, जो मेरे कहने में चूक हुई थी। वह यह कि सभी चार अंक एक ही न हों, उसने मुझे फिर सुधारा, (एक का मतलब तो संख्या एक समझा जा सकता है, इसलिए) ‘एक‘ ही नहीं, बल्कि सभी चारों अंक ‘समान‘ न हों।
उस बालक ने इसमें दिलचस्पी ली, टैब बगल में रखा रह गया और बात पूरी होने पर उसका ध्यान टैब की ओर नहीं गया, बल्कि प्रतीक्षा करता रहा कि क्या मैं और आगे भी कुछ कहने वाला हूं। मैंने हमेशा पाया है कि गणित में रुचि हो तो हल, उत्तर ला कर संतोष नहीं होता। बातें सूझने लगीं। यह खेल और भी सवाल खड़े करता है, जैसे- इस अंक में ऐसा क्या खास है, ऐसा क्यों होता है? क्या ऐसा दो अंकों वाली, तीन अंकों वाली, पांच अंकों वाली संख्या के साथ भी होगा। और होगा तो क्या इसका कोई सूत्र-फार्मूला बन सकता है। इसी तरह दो संख्या पर सोचें तो हल तुरंत मिल गया कि 21-12 बचेगा 9। 31-13 बचेगा 18, 32-23 बचेगा 9। 98-89 बचेगा 9, 91-19 बचेगा 72, आगे बढ़ने पर 72-27 बचेगा 45, इसे 54-45 करें तो बचेगा 9।
इसे करते समझ में आया कि दो संख्या का खेल 99 जैसा चक्कर है यानि घूम-फिर कर 9 ही आएगा। तब ध्यान गया कि हम स्कूली दिनों में 9 का पहाड़ा लिखते थे, जिसमें इकाई 1 से 9 तक और उसके सामने 8 से 0 तक यानि 18, 27, 36 आदि और इन सभी संख्याओं का जोड़ 9 ही होता था। 6174 का जोड़ भी पहले 18 फिर 1+8=9 होता है। तब लगा कि 9 के आगे तो सब गोल चक्कर है शून्य, यहीं से शुरू और इसी पे कहानी खत्म भी हो। तीन और पांच पर सोचना शुरू करें, एआइ की मदद ले लिया तो सोचने के रस से वंचित रह जाएंगे। आनंद, हल में नहीं, सोचते हुए उस या उन रास्तों में है, जिनसे गुजरना होता है।
तीन अंकों के लिए मैंने 123 और 998 को लिया। 123 लेने पर पांचवें चरण में- 321-123 बराबर 198 होते हुए, 792, 693, 594 के बाद 495 आ गया। इसी तरह 998 लेने पर 998-899 बराबर 099 होते हुए 891, 792, 693, 594 के बाद 495 आ गया। इस तरह तीन अंकों की संख्या के लिए स्थिरांक 495 मिला। ध्यान गया, कि चरणों में आने वाली संख्याएं समान हैं और सभी में पहली और तीसरी संख्या का योग 9 तथा बीच वाली दूसरी संख्या स्वयं 9 है। स्थिरांक 495 में भी 4, 9 और 5 का योग 18, पुनः 1 और 8 का योग 9 होता है। अब मैंने एआइ की मदद ली, पूछा कि क्या तीन अंकों वाली किसी संख्या को इस विधि से स्थिरांक तक पहुंचने में 5 ही चरण लगते हैं? जवाब मिला नहीं 36 (वस्तुतः 51) ऐसी संख्याएं हैं (जैसे 100, 110), जिन्हें 495 पहुंचने में 6 चरण लगते हैं। एआइ मेरे अगले सवाल के लिए मानों तैयार था और बताने लगा कि 1 से 6 चरण वाली संख्याएं कुल 480 हैं।
 |
| एआइ से सवाल-जवाब |
मैंने मन ही मन हिसाब लगा लिया- 100 से 999 के बीच 900 संख्याएं होंगी, जिनमें इस प्रयोजन के लिए 111, 222, 333 ... आदि 9 संख्याओं तथा दसवीं संख्या स्वयं 495 को छोड़ दें तो बच गईं 890 संख्याएं। एआइ पर पूरा भरोसा मुझे कभी नहीं होता, मैंने उसी से यह पूछ लिया, कि ऐसा सिर्फ 480 क्योंकर होगा, वह तो इससे अधिक ही होगा। उसने तुरंत गलती मान ली और सुधार कर, अपने हिसाब में 495 को भी शामिल करते, सही जवाब दे दिया- 891।
कापरेकर विधि में तीन अंकों के हिसाब में अवरोही क्रम की संख्या को पहली बार आरोही क्रम की संख्या से घटाने में अंतिम अंक 1 या 0 नहीं आएगा। तीन अंकों की उच्चतम संख्या को न्यूनतम संख्या से पहली घटाने पर अंतिम अंक-
6 आए तो अगले दो चरण में अंतिम अंक क्रमशः 4 और 5 आएंगे,
इस तरह कुल तीन चरणों में स्थिरांक 495 आ जाएगा।
7 आए तो अगले तीन चरणों में 3, 4 और 5, इस तरह चौथे चरण में
8 आए तो अगले चार चरणों में 2, 3, 4 और 5, इस तरह पांचवें चरण में
9 आए तो अगले पांच चरणों में 1, 2, 3, 4 और 5, इस तरह छठवें चरण में
2 आए तो 7 की तरह अगले तीन चरणों में 3, 4 और 5 इस तरह चौथे चरण में
3 आए तो 6 की तरह अगले दो चरणों में 4 और 5 इस तरह तीसरे चरण में
4 आए तो दूसरे चरण में 5 आ जाएगा और
5 आए तो पहले चरण में ही 495 आ जाएगा।
इसमें मजेदार यह कि विभिन्न चरणों में आने वाली संख्या में बीच वाली संख्या सदैव 9 होगी और पहली-तीसरी संख्या का योग 9 होगा यानी किसी भी अंक का पहला चरण उच्चतम से न्यूनतम घटाने पर 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 891 या 099 आएगा। राम दुहाई, तुलसी बाबा याद आए, जिन्होंने कह रखा है- ‘जैसे घटत न अंक नव, नव के लिखत पहार‘।
टैब-विरत और जिज्ञासु होने के कारण अपने बचपन में खेला दूसरा खेल शुरू की स्थिति थी। मुझे पता है कि इस बालक ‘ख‘ की उम्र में लगभग तीन साल बड़ी बहन ‘क‘ है। सवाल बना- बहन और भाई, जिनकी उम्र का योग 21 और अंतर 3 वर्ष है, क्या सिर्फ इतना बता देने पर बहन और भाई की उम्र अलग-अलग निकाली जा सकती है। हां, क्यों नहीं। जवाब होगा 12 और 9। अब हम साथ-साथ सोचने लगे कि इस उत्तर तक किस तरह या कितने तरह से पहुंचा जा सकता है। पहला तो यह हुआ कि अनुमान कर लें कि दोनों की उम्र का योग 21 और अंतर 3 वर्ष का है तो उम्र 10-10 के आसपास होगी, लेकिन इसका योग 20 है और इसमें अंतर भी नहीं है तो आगे बढ़ें, ख-9 और क-11 करें तो अंतर 2 का और योग अभी भी 20 होगा। 8 और 12 करने पर अंतर 4 का और योग 20 का होगा, अब स्थिति स्पष्ट है कि उत्तर 9-11 और 8-12 के आसपास ही कहीं है। 3 का अंतर बनाने के लिए 8-11 करने पर योग 19 होगा तो 9-12 किया जाए, हल निकल आएगा। एक रास्ता यह भी हो सकता है कि पहले ही 21 में 3 घटा दिया जाए, इससे बचे 18 को क और ख में आधा-आधा, 9-9 बंट जाए, फिर घटाए गए 3 को बड़ी बहन ‘क‘ के 9 में जोड़ दिया जाए, हल 12 और 9 आ जाएगा। यही 5 साल, 7 साल के अंतर में देखा जा सकता है। फिर सोचें के दोनों की उम्र का अंतर सम संख्या में हो तो क्या होगा।
इस सीधे, मगर लंबे रास्ते पर भी विचार हुआ कि 1 और 21 से शुरू करें, आयु तो इसके बीच की ही होगी। तो, 2-20, 3-19, 4-18, 5-17, 6-16, 7-15, 8-14, 9-13 इस तरह जोड़ा बनाते हुए दोनों अंकों का जोड़ भी करते चले, जो यह 22 आता गया अंतर घटता गया 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4। 4 आ जाने पर रुके 9 और 13 को लिया, हल पर पहुंचते देर नहीं लगी कि 13 को 12 कर दिए जाने पर बात बन जाएगी यानी जोड़ा बनेगा 9-12, जिसका अंतर तीन और योग 21 होगा। इस तरह से भी सोचा गया कि जोड़ी 1-21 के बजाय 0-21 क्यों न हो 1-20, 2-19 ... इस तरह आगे बढ़ने पर अधिक आसान होगा, जोड़ा आ जाएगा 9-12, जो सीधे उत्तर पर आ जाएगा।
इसे हल करने का और क्या तरीका हो सकता है? क+ख=21 और क-ख=3 का समीकरण बना लें। 2क=24 आएगा तो क=12 आ जाएगा, इस तरह क-12 होगा और ख, कुल आयु 21 में - क की आयु 12=3 आ जाएगा। एक समीकरण ख को ले कर बन सकता है, जिसमें 2ख का मान 18 आएगा, इसलिए ख का मान 9 हो जाएगा, तो कुल 21 से - ख का मान 9=क का मान 12 आ जाएगा। इस तरह हल निकल आएगा, बहन ‘क‘ की उम्र 12 वर्ष और भाई ‘ख‘ की उम्र 9 वर्ष।
बातों में पता चला कि बालक रूबिक क्यूब मास्टर है। क्यूब के छह पहल से शुरू हुई बात घन यानी छह पहल वाले पासे-डाइस से आगे बढ़ी और पहुंची 1 से 100 तक की संभी संख्याओं के कुल योग तक। हमने बात उल्टी तरफ से शुरू की यानी इसके हल 5050 से। सोचने लगे कि इस हल तक पहुंचने के कौन-कौन से रास्ते हो सकते हैं। क्या इसे एक-एक जोड़ करने के लिए कागज-कलम और इसमें समय गंवाना जरूरी है या कोई आसान रास्ता हो सकता है, मनगणित वाला। एक से अधिक तरीके भी हो सकते हैं? कोई फार्मूला-सूत्र हो सकता है? निरंतर संख्याओं के कुल जोड़ के लिए सूत्र कैसे बनाया जा सकता है?
बचपन के साथियों ने रास्ता निकाला था कि 1 से 10, 11 से 20, 21 से 30 का जोड़ निकालते चलें और उन सभी का योग कर लें उत्तर निकल आएगा। इस पर बात गणित से तर्कशास्त्र पर आ गई। मोटे तौर पर गणित भी तो तर्क ही है और तर्क, गणित। तर्क आया कि फिर एक तरीका यह क्यों नहीं हो सकता कि 1-11-21 से 91 तक, इसी तरह 2-12-23 से 92 तक होते हुए 10-20-30 से 100 तक का जोड़ निकाल लें, फिर उस सबको जोड़ लें उत्तर आ जाएगा। कुतर्क आया कि कि तिरछी चाल चल कर भी हल आ सकता है यानी 1-12-23 ...100 या 10-19-28...91 तक। बात कान को सीधे के बजाय घुमा कर पकड़ने की होने लगी, पर लगा कि इसमें भी कुछ रोचक क्रम-विन्यास दिखेगा। बहरहाल, यह तय पाया गया कि इसके लिए कागज-कलम की जरूरत होगी। मन में मौखिक जोड़ करने में कठिनाई होगी और गलती भी संभावना रहेगी।
जबकि बालक ने सवाल सुनते ही तत्काल कहा कि दो-दो संख्याओं के जोड़े बना लें, जिसका योग 100 हो यानी 99+1, 98+2, 97+3 इस तरह ऐसे 49 जोड़े बनेंगे, क्योंकि 100 छूटा रहेगा और 50 छूट जाएगा। 100 के 49 जोड़े होंगे 4900, इसमें 100 जुड़ेगा तो 5000 और फिर 50 जोड़ देने पर उत्तर निकल आएगा 5050। उसका यह त्वरित जवाब चकित कर देने वाला था। मैंने छेड़ा, हम 100 को क्यों छोड़े। जोड़ा 100+1, 99+2, 98+3 इस तरह 101 के 50 जोड़े बनेंगे, जिसका गुणनफल सीधे 5050 आ जाएगा। बालक ने बात समझी, मगर एक और पैंतरा तलाश लिया, कहा कि 100 के जोड़े बनाना आसान है, क्योंकि पहला जोड़ा 99+1 नहीं, 100+0 बनेगा, ऐसे पचास जोड़े होंगे, 5000, बचा 50 वह इसमें जुड़ जाएगा, हो जाएगा 5050। इस तरह वह हार मानने को तैयार नहीं और मैं उसकी प्रत्युत्पन्न मति, तर्क-बुद्धि और गणितीय सोच पर चकित के साथ-साथ कि ऐसा मैं क्यों कभी नहीं सोच पाया था।
अब बात आगे छह पहल-घन और सूत्र पर। पासे के छह पहलों पर तीन जोड़ी बनती है, जिसमें सामान्यतः 6 वाले पहल के पीछे 1, 5 के पीछे 2 और 4 के पीछे 3 होता है। यह सूत्र की दिशा में एक संकेतक कदम है, यानि 6-1, 5-2 और 4-3 को जोड़ते चलें तो 7 के तीन जोड़े यानि कुल 21। इस तरह पहुंचे कि 1 से 6 तक निरंतर सभी छह संख्याओं का योग 21 होगा। 1 से 4 तक की संख्या का योग 10 मौखिक जोड़ सकते हैं 1+4=5 और 2+3=5, दोनों 5 मिला कर 10। कुछ आगे बढ़ कर 1 से 10 को लें। 1+9, 2+8, 3+7, 4+6, ये सभी 10 चार बार यानी 40। बचा एक 5 और 10, इस तरह 40+5+10=55। यहां भी यदि 10 का जोड़ा 0 के साथ बना कर 50 और बचा 5 जोड़ कर 55 आएगा या 10 के साथ 1 का जोड़ा बनाने के क्रम में 5 का जोड़ा 6 के साथ बन कर 11 हो जाएगा, इस तरह 11 के पांच जोड़े बन कर 55 आ जाएगा। अलग-अलग तरह से जोड़-घटाव करते निकल आता है कि 1 से शुरू होने वाली संख्या के साथ 10 हो 100 हो 25 हो या कोई अन्य संख्या, उदाहरणार्थ- 78, सूत्र होगा, अंतिम संख्या में पहली संख्या यानी 1 जोड़ का अंतिम संख्या से गुणा कर दें और उसे दो से भाग दे दें। इसे जांचने के लिए छोटी संख्या के उदाहरण में आसानी होगी। जांच के लिए उदाहरण में घन वाली संख्या 6 को लें, 6 में 1 जोड़ कर 6 से गुणा करें, जो 7 गुणा 6=42 होगा, इसे 2 से भाग देने पर आ जाएगा 21। इसी तरह 10 को लें तो 10+1 गुणा 10=110, इसमें 2 का भाग देने पर 55। इसमें इसी तरह का और भी कुछ सोचा, खोजा जा सकता है।
इस बातचीत से बालक कुछ देर टैब से दूर रहा। हां! उसके अभ्यास की भाषा अंगरेजी थी, मेरी हिंदी, हम दोनों को बातचीत में जोड़ रहा था गणित। शुरुआत हुई मेरे द्वारा उसे गणित में चुनौती देने से और पहुंची कि मैं गणित में उसके बराबर किस तरह टिका रह सकूं, खेल बराबरी पर छूटे। बहरहाल, उसे कुछ हासिल हुआ या नहीं, पता नही, शायद मुझे एक सीमा तक मित्र स्वीकार किया, कुछ इस तरह कि चलो, ठीक है, तुम्हें गणित आती हो या नहीं, रुचि तो है। याद करने लगा, जब इस बालक वाली उम्र में मुझे बताया गया था, सम और विषम संख्या। सम संख्या, जो दो से पूरी कट जाए। दो से कटने वाली संख्या, जिसके अंत में 2, 4, 6, 8 या 0 हो। तीन से कटने वाली संख्या, जिसका अंतिम योग 3 हो, 5 से कटने वाली संख्या जिसके अंत में 5 या शून्य हो।
एक दौर दैनिक लॉटरी टिकट का आया, उसमें अंतिम अंक के लिए जोड़ घटाव होता रहता था, जैसा बंबई का सट्टा बाजार ‘वरली मटका‘, और हमारे छत्तीसगढ़ का वरली-भाटापारा। अखबार में इसे ‘तबाही के आंकड़े‘ शीर्षक से बॉक्स में छापा जाता था। लोग अखबार के कामिक्स स्ट्रिप में आतिशी शीशा ले कर आंखें गड़ाए रहते थे। माना जाता था कि कल खुलने वाला नंबर, कहीं बारीक चोरी से इसमें कहीं छपा होता है। मुझे हमारे गांव के एक गणितज्ञ लावनिया जी ने एक छोटी सी हैंडबुक दी थी, जिसमें रैंडम नंबर और नंबर जनरेटर का गणित समझाया गया था, शायद 0 और 5 को पुअर जनरेटर कहा गया था। यह पढ़ कर लॉटरी में आने वाले नंबरों को समझने का प्रयास किया, उसमें मुझे उतनी ही सफलता मिली, जितनी उन्हें, जिन्होंने न यह किताब पढ़ी थी, न बहुत अधिक जोड़-घटाव आता था। तो अब मेरा हासिल कि मैंने उसके साथ अपना बचपन याद कर लिया और गणितबाजी की रुचि के साथ जो यह समय बीता, जुगाली के लिए उसमें मेरे लिए फिर से रस भर गया।
